Różne zadania z funkcji liniowej
Zadanie 1.
Narysuj wykres funkcji \( y = \sqrt{x^2-4x+4} +|x+2| \)
Zobacz rozwiązanie
Wiemy, że \( \sqrt{x^2} = |x| \)
Wzór funkcji przekształcamy do postaci
\( y = \sqrt{(x-2)^2}+|x+2| = |x-2|+|x+2| \)
Rozpatrujemy tę funkcję w całym zbiorze liczb rzeczywistych, podzielonym na przedziały, których końcami są miejsca zerowe funkcji znajdujących się pod znakiem wartości bezwzględnej. Mamy dwa miejsca zerowe -2 i 2. Dzielą one zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały.
\( y = \begin{cases} -2x & \text{dla} \quad x \leq -2 \\ 4 & \text{dla} \quad -2 \lt x \leq2 \\ 2x & \text{dla} \quad x > 2 \end{cases} \)
Zadanie 2.
Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A(2,1) B(4,3).
Zobacz rozwiązanie
Przewidujemy równanie \( y = ax +b \). Skoro punkty należą do tej prostej, to ich współrzędne spełniają równanie tej prostej, zatem:
\( \frac {\begin{cases} 1 = 2a+b \\ 3 = 4a +b \end{cases} } {-2 = -2a} \)
\( a= 1, \quad b=-1 \)
\( y=x-1 \)
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie \( 2|x|-|x+1|=2 \)
Zobacz rozwiązanie
Jak w przykładzie 1: dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są miejsca zero funkcji, znajdujących się pod znakiem bezwzględnej wartości.
\( \begin{cases} x \leq -1 \\ -2x+x+1=2 \\ x =-1 \end{cases} \] \[ \quad \lor \quad \) \( \frac {\begin{cases} -1 \lt x \leq 0 \\ -2x-x+1=2 \\ x =-1 \end{cases}} {\text{sprzeczność}} \) \( \quad \lor \quad \) \( \begin{cases} x \gt 0 \\ 2x-x-1=2 \\ x = 3 \end{cases} \)
Równanie ma dwa rozwiązania \( x=-1 \lor x=3 \)
Zadanie 4.
Dla jakich całkowitych wartości n układ równań \( \begin{cases} nx-y=5 \\ 2x-3ny=7 \end{cases} \) posiada rozwiązania x>0 i y>0?
Zobacz rozwiązanie
\( W = \begin{vmatrix} n & -1 \\ 2 & -3n \end{vmatrix} = -3n^2+2 \)
\( W_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 7 & -3n \end{vmatrix} = -15n+7 \)
\( W_y = \begin{vmatrix} n & 5 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 7n-10 \)
\( x= \frac{-15n+7}{-3n^2+2} \)
\( y= \frac{7n-10}{-3n^2+2} \)
Korzystamy z własności: jeżeli \( a:b \gt 0 \) to \( ab \gt 0 \) lub \( a:b \lt 0 \) to \( ab \lt 0 \)
1. \( x \gt 0 \iff (-15n+7)(-3n^2+2) \gt 0 \iff -3(15n+7)(n- \sqrt{2 \over 3})(n+ \sqrt{2 \over 3}) \gt 0 \)
2. \( y \gt 0 \iff (7n-10)(-3n^2+2) \gt 0 \iff -3(7n-10)(n- \sqrt{2 \over 3})(n+ \sqrt{2 \over 3}) \gt 0 \)
Rysujemy przybliżony wykres wielomianu wiedząc, że przechodzi on przez wszystkie miejsca zerowe. Jeżeli pierwiastek jest wielokrotny, to przy krotności parzystej wykres wielomianu nie przechodzi na drugą stronę osi argumentów. Ponadto w ostatnim przedziale, znak wartości wielomianu jest zgodny ze znakiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.
1.
\( n \in \left( -\sqrt{2 \over 3},{7 \over15} \right) \cup \left( \sqrt{2 \over 3},\infty \right) \)
2.
\( n \in \left(-\infty , -\sqrt{2 \over 3} \right) \cup \left( \sqrt{2 \over 3}, {10 \over 7} \right) \)
Szukamy części wspólnej 1. i 2.
Odpowiedź: n=1
Zobacz Komentarze ( 0 )