Przykłady ciągów i ich własności

Ciągiem skończonym nazywamy funkcję określoną na skończonym zbiorze liczb naturalnych dodatnich \( (\Bbb{N_+}) \), albo na jego podzbiorze {1,2,3,...,n}.

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych. Przykładem takiego ciągu może być ciąg liczbowy: (5,7,9,11,...), wzór takiego ciągu kształtuje się następująco: \( a_n=2n+3 \), gdzie \( n \in \Bbb{N_+} \).

Ciągi oznaczamy symbolami \( (a_n), \space (b_n), \space (c_n) \).

Wartość tej funkcji (kolejne liczby występujące w ciągu) nazywamy wyrazami ciągu.

Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym. Ponieważ są one funkcjami liczbowo-liczbowymi, możemy więc rozpatrywać ich własności analogicznie do własności funkcji.

Jedną z takich własności jest monotoniczność.

Przykład 1

Dany jest ciąg \( a_n=\frac{4n+2}{3n-1} \), gdzie \( n \in \Bbb{N_+} \). Podaj trzy początkowe oraz wyraz ósmy tego ciągu. Określ również wzorem wyraz \( a_{3n} \) , gdzie \( n \in \Bbb{N_+}.

Rozwiązanie:

Szukane wyrazy ciągu obliczymy podstawiając kolejne wartości pod wzór:

\( a_1=\frac{4 \cdot 1+2}{3 \cdot 1-1}= \frac{6}{2} = 3 \)

\( a_2=\frac{4 \cdot 2+2}{3 \cdot 2-1}= \frac{10}{5} = 2 \)

\( a_3=\frac{4 \cdot 3+2}{3 \cdot 3-1}= \frac{14}{8} = \frac{7}{4}=1\frac{3}{8} \)

\( a_8=\frac{4 \cdot 8+2}{3 \cdot 8-1}= \frac{34}{23} \)

Chcąc znaleźć wyraz 3n tego ciągu, wystarczy w miejsce n podstawić 3n.

\( a_{3n}=\frac{4 \cdot (3n)+2}{3 \cdot (3n)-1}= \frac{12n+2}{9n-1} \)