Monotoniczność ciągu

Ciąg monotoniczny jest to ciąg niemalejący lub nierosnący. Ciągi rosnące i malejące nazywamy ciągami ściśle monotonicznymi.

Ciąg \( a_n \) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( n \in \Bbb{N_+} \) spełniona jest nierówność:

\[ a_n \lt a_{n+1} \]

Ciąg \( a_n \) nazywamy ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( n \in \Bbb{N_+} \) spełniona jest nierówność:

\[ a_n \gt a_{n+1} \]

Ciąg \( a_n \) nazywamy ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( n \in \Bbb{N_+} \) spełniona jest nierówność:

\[ a_n \leq a_{n+1} \]

Ciąg \( a_n \) nazywamy ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( n \in \Bbb{N_+} \) spełniona jest nierówność:

\[ a_n \geq a_{n+1} \]

Ciąg \( a_n \) nazywamy ciągiem stałym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( n \in \Bbb{N_+} \) spełniona jest nierówność:

\[ a_n = a_{n+1} \]

Z powyższych warunków wynika, że chcąc sprawdzić monotoniczność ciągu określonego wzorem, wystarczy ustalić znak różnicy \( a_{n+1}-a_n \). Jeżeli różnica ta jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeżeli ujemna to malejący, a jeśli jest równa 0, to ciąg jest stały.

Przykład 1

Zbadaj monotoniczność ciągu \( a_n=\frac{3n-1}{2n+2} \).

Rozwiązanie

\( a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{2(n+1)+2}=\frac{3n+2}{2n+4} \), więc \( a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{2n+4}-\frac{3n-1}{2n+2}=\frac{(3n+2)(2n+2)-(3n-1)(2n+4)}{(2n+4)(2n+2)}=\frac{8}{(2n+4)(2n+2)} \). Ponieważ \( n \in \Bbb{N_+} \) iloczyn (2n+4)(2n+2) jest dodatni, stąd też \( \frac{8}{(2n+4)(2n+2)} \gt 0 \), więc \( a_{n+1}-a_n>0 \). Oznacza to, że ciąg \( a_n \) jest rosnący.