Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy taki ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez ustaloną liczbę q, że

\( a_{n+1}=q \cdot a_n \) dla n=1,2,3,....

q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Wyraz n-ty ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \( (a_1) \) i ilorazie q wyraża się wzorem:

\[ a_n=a_1 \cdot q^{n-1} \]

Średnia geometryczna

Wartość bezwzględna dowolnego wyrazu, zaczynając od wyrazu drugiego tego ciągu, jest średnią geometryczną dwóch wyrazów: poprzedzającego go i występującego za nim.

\( |a_n|=\sqrt{a_{n+1} \cdot a_{n-1}}=\sqrt{a_{n+k} \cdot a_{n-k}} \), dla \( 0\lt k \lt n \) i \( n \geq 2 \)

Przykład

Wyznacz \( x \), jeśli liczby: \( 243 \), \( (2x+7) \), \( 27 \) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie:

Korzystając z własności ciągu geometrycznego, można zapisać równość:

\( |2x+7| = \sqrt{243 \cdot 27} \)

\( |2x+7| = \sqrt{6561} \)

\( |2x+7| = 81 \)

\( x=37 \) lub \( x=-44 \)

Odpowiedź

Szukana liczba to 37 lub -44

Suma n wyrazów poczatkowych ciągu geometrycznego

Jeżeli \( (a_n) \) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \( q \neq 1 \), to suma wyraża się wzorem:

\[ \begin{cases} S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}, \quad gdy \space q\neq 1 \\ S_n=a_1 \cdot n, \quad gdy \space q=1 \end{cases} \]

Przykład

Dany jest ciąg geometryczny \( a_n=1,3,9,27,81,... \). Oblicz sumę dzięsięciu poczatkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie

Ponieważ \( q neq 1 \), więc najpierw obliczymy q:

\( a_2=a_1 \cdot q^{2-1} \)

\( q=\frac{a_2}{a_1} \)

\( q=\frac{3}{1}=3 \)

\( S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \)

\( S_{10}=1 \cdot \frac{1-3^{10}}{1-3} \)

\( S_{10}=\frac{-59048}{-2}=29524 \)

Odpowiedź

Szukana suma wynosi 29524

Monotoniczność ciągu geometrycznego \( (a_n) \)

Jeżeli \( q \gt 1 \text{ i } a_1 \gt 0 \text{ lub } q\in(0,1) \text{ i } a_1 \lt 0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem rosnącym

Jeżeli \( q \gt 1 \text{ i } a_1 \lt 0 \text{ lub } q\in(0,1) \text{ i } a_1 \gt 0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem malejącym

Jeżeli \( q = 1 \text{ lub } a_1=0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem stałym

Jeżeli \( q \lt 0 \text{ i } a_1\neq 0 \), to \( (a_n) \) nie jest ciągiem monotonicznym

Przykład 1.

Określ monotoniczność ciągu geometrycznego \( a_n= \left( -\frac{1}{4} \right)^2n \)

Rozwiązanie:

\( q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left( -\frac{1}{4} \right)^{2(n+1)}}{\left( -\frac{1}{4} \right)^{2n}}= \left( -\frac{1}{4} \right)^{2n+2-2n}= \left( -\frac{1}{4} \right)^{2}=\frac{1}{16} \)

\( q=\frac{1}{16} \in (0,1) \)

Teraz wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu:

\( a_1= \left( -\frac{1}{4} \right)^2= \frac{1}{16} \gt 0 \)

Odpowiedź

\( a_1 \gt 0 \text{ i } q \in (0,1) \), więc ciąg jest malejący.