Ciąg arytmetyczny

Definicja ciągu arytmetycznego

Ciągiem arytmetycznym nazywamy \( (a_n) \), dla którego istnieje taka liczba \( r \), że:

\( a_{n+1}-a_n=r \) dla n=1,2,3,...

r - nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego

Wyraz n-ty ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \( (a_1) \) i różnicy r wyraża się wzorem:

\[ a_n=a_1+(n-1) \cdot r \]

Znając wzór na sumę ciągu arytmetycznego \( S_n \) możemy obliczyć \( a_n \) korzystając ze wzoru:

\[ a_n=S_n-S_{n-1} \]

Każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego, możemy przedstawić jako średnia arytmetyczna sąsiednich wyrazów:

\[ a_n=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}=\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}, \text{ dla } 0 \lt k \lt n \]

Suma kolejnych n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest określona wzorem:

\[ S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \]

Podany powyżej wzór możemy łatwo przekształcić do innej postaci:

ponieważ \( a_n=a_1+(n-1)r \), więc \( S_n=\frac{a_1+a_1+(n-1)r}{2} \cdot n \), stąd:

\[ S_n= n \cdot a_1 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot r \]

Do obliczenia sumy ciągu arytmetycznego od k-tego wyrazu do n-tego wyrazu korzystamy ze wzoru:

\[ S_n^k= \frac{a_k+a_n}{2} \cdot (n-k+1) \]

Dla \( a \) określonego jako pierwszy wyraz ciągu:

\( \begin{cases} a_1=a \\ a_{n+1}=a_n+r, \quad dla \space n \in \Bbb{N_+} \end{cases} \)

Jeżeli \( r \gt 0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem rosnącym

Jeżeli \( r \lt 0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem malejącym

Jeżeli \( r = 0 \), to \( (a_n) \) jest ciągiem stałym