Ruch jednostajnie przyspieszony

Cechy kinematyczne ruchu jednostajnie przyspieszonego:

• Droga (przesunięcie) jest kwadratową funkcją czasu
• Prędkość jest liniową funkcją czasu
• Przyspieszenie jest stałe

Przedstawmy to na wykresach:

Rys. 1-4-1-1 Wykres zależności drogi (położenia) od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym

Rys. 1-4-1-2 Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego

W ruchu jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie jest stałe ( \( \overrightarrow{a}=const. \) ). Wynika stąd, że przyspieszenie średnie równe jest przyspieszeniu chwilowemu.

Z definicji przyspieszenia wynika, że wartość przyspieszenia \( \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{\Delta{v}}}{\overrightarrow{\Delta{t}}} \), stąd

Rys 1-4-1-3 Wykres zależności przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym

\( \overrightarrow{v}=a \cdot \Delta{t} \)

Uwzględniając, że

\( \overrightarrow{\Delta{v}}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_p} \)

( \( \overrightarrow{v_p} \) - to prędkość początkowa ciała)

otrzymujemy \( \overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_p}=a \cdot \Delta{t} \)

i ostatecznie:

\( v=v_p + a \cdot \Delta{t} \)

Droga w ruchu jednostajnie zmiennym

Z wykresu prędkości można obliczyć drogę przebytą przez ciało. Jest nią suma pól pod wykresem prędkości; podzielmy ją na pole prostokąta o bokach \( v_p \) i \( t \) oraz pole trójkąta prostokątnego o podstawie \( t \) i wysokości \( \Delta{v} \)

\[ S=v_p t + \frac{1}{2} \Delta{v} \cdot t \]

\[ \Delta{v}=a \cdot t \]

\[ S=v_p t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

Jeśli nie znamy przyspieszenia a znamy prędkość v ciała po czasie t trwania ruchu, to możemy obliczyć drogę ze wzoru:

\[ S=v_0 t + \frac{1}{2} \cdot \frac{v-v_p}{t} \cdot t^2 = \frac{1}{2}v \cdot t + \frac{1}{2}v_p \cdot t \]

Ostatecznie otrzymujemy:

\[ S=\frac{1}{2}(v_p+v)t \]

Jeżeli w chwili \( t=0 \) ciało znajdowało się w początku układu współrzędnych \( x_0 = 0 \), to po upływie czasu t jego położenie wyraża się wzorem:

\[ x=v_p t + \frac{1}{2}at^2 \]

Ruch jednostajnie opóźniony

W ruchu jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie jest stałe ( \( \overrightarrow{a}=const. \) ), ale zwrócone przeciwnie do wektora prędkości oraz przeciwnie do przyjętego zwrotu osi \( x \).

Cechy kinematyczne ruchu jednostajnie opóźnionego:

• Droga jest kwadratową funkcją czasu
• Prędkość jest liniową funkcją czasu
• Opóźnienie jest stałe

Powyższe zależności przedstawmy na wykresach:

Rys. 1-4-1-5 Wykres zależności drogi (położenia) od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym

Rys. 1-4-1-6 Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym

Równania kinematyczne w ruchu jednostajnie opóźnionym:

• Drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym wyrażamy wzorem:

\[ S=v_p t - \frac{1}{2}at^2 \]

• Definicja opóźnienia

\[ a=\frac{v_p - v_k}{t} \]