Związek pomiędzy natężeniem i potencjałem

Rozważmy dwa punkty A i B na tyle bliskie, aby natężenia pola \( \overrightarrow{E} \) w obu punktach było praktycznie jednakowe. Jeśli wektor przesunięcia od A do B oznaczamy jako \( \overrightarrow{\Delta r}=\overrightarrow{\Delta_B}-\overrightarrow{\Delta_A} \), to różnica potencjałów obu punktów wyraża się wzorem:

\[ V_B-V_A=-E \cdot \Delta r \cdot \cos{\angle(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{\Delta r})} \]

W szczególności, gdy przesunięcie \( \overrightarrow{\Delta r} \) jest zgodne z wektorem \( \overrightarrow{E} \), otrzymujemy:

\[ E=-\frac{V_B-V_A}{\Delta r} \]

Podczas gdy ładunek q przesuwa się w polu \( \overrightarrow{E} \) z punktu A do punktu B, to praca sił pola jest równa:

\[ W=q(V_A-V_B)=-q(V_B-V_A) \]

Natomiast praca W sił pola \( \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E} \) przy przesunięciu ładunku o wektor \( \overrightarrow{\Delta r}= \overrightarrow{\Delta_B} - \overrightarrow{\Delta_A} \) jest równa z definicji:

\[ W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{\Delta r}=q\overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{\Delta r}=qE\Delta r\cos{\angle(\overrightarrow{E},\overrightarrow{\Delta R})} \]

Zgodnie z wzorem:

\[ E=\frac{V_B-V_A}{\Delta r} \]

Jednostką natężenia pola elektrycznego w układzie SI jest wolt na metr.

\[ \frac{1V}{1m}=\frac{\frac{1J}{1C}}{1m}=\frac{1J}{1C \cdot 1m}=\frac{1N \cdot 1m}{1C \cdot 1m}=\frac{1N}{1C} \]

Wartość natężenia informuje nas zatem, o ile woltów spada potencjał na każdym metrze.

Przykład 1.

Wyznacz natężenie pola elektrostatycznego w środku odcinka, którego \( d = 2mm \). W jego końcach znajdują się dwa różnoimienne ładunki punktowe o wartościach \( q_1 = q_2 = 4 \cdot 10^{-9}C \).

Rozwiązanie

Wzór na natężeni pola elektrostatycznego:

\( E=\frac{kq}{r^2} \)

\( E=\frac{kq}{\left( \frac{d}{2} \right)^2}=\frac{4kq}{d^2}+\frac{4kq}{d^2}=8\frac{kq}{d^2} \)

\( E=8 \cdot \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-3}}=72 \cdot 10^6 \frac{V}{m} \)

Odpowiedź

Natężenie pola elektrostatycznego wynosi \( 72 \cdot 10^6 \frac{V}{m} \).