Strumień pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa

Strumień pola elektrostatycznego

φprzez daną powierzchnię nazywamy iloczynem natężenia pola E, wartości pola powierzchni S oraz cosinusa kąta α między kierunkiem natężenia a wektorem prostopadłym do powierzchni.

\[ \varphi = E \cdot S \cdot \cos{\alpha} \]

Rozważmy powierzchnię zamkniętą, przez którą przechodzi strumień pola elektrostatycznego punktowego ładunku q o promieniu r. Natężenie tego pola jest równe w każdym punkcie zgodnie z prawem Coulomba.

\( E=\frac{kq}{r^2} \)

\( \varphi=ES=4 \pi r^2 \cdot S = kq4 \pi = 4\pi kq \)

Całkowity strumień, który przenika przez daną powierzchnię zamkniętą nie zależy od kształtu tej powierzchni i zawsze wynosi \( 4 \pi kq \).

Współczynnik \( 4 \pi k \) często jest zapisywany w postaci:

\( 4 \pi k =\frac{1}{\varepsilon_0} \)

gdzie:

\( \varepsilon_0 \) - przenikalność elektryczna próżni

Prawo Gaussa

Strumień pola elektrostatycznego \( \varphi \) wytworzony przez dowolny ładunek przechodzący przez dowolną, zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny do całkowitego ładunku zawartego wewnątrz tej powierzchni.

\[ \varphi=\frac{q}{\varepsilon_0} \]

Stosunek ładunku q zgromadzonego na elemencie powierzchni S do wielkości tej powierzchni nazywamy gęstością powierzchni ładunku, która jest równa:

\[ \sigma = \frac{q}{S} \]

Przykład 1.

Oblicz natężenie promieniowania słonecznego \( J_1 \) na Marsie, znając wielkość tego natężenia na Ziemi \( J_0=140 \frac{W}{m^2} \). Odległość Marsa od Słońca jest s = 1,5 raza większa niż odległość Ziemi od Słońca.

Rozwiązanie

Należy rozważyć dwie sfery o środku w Słońcu, jedną o promieniu równym odległości \( r_0 \) Ziemi od Słońca, drugą o promieniu równym odległości \( r_1 \) Marsa od Słońca. Pola powierzchni obu sfer równe są odpowiednio \( 4 \pi r_0^2 \) i \( 4 \pi r_1^2 \). Strumień energii \( \varphi \) przenikającej w ciągu sekundy powierzchnię każdej ze sfer jest taki sam i równy:

\( \varphi = J_0 \cdot 4 \pi r^2_0 = J_1 \cdot 4 \pi r^2_1 \)

Przekształcając wzór otrzymujemy:

\( J_1=J_0 \cdot \frac{4 \pi r^2_0}{4 \pi r^2_1}= J_0 \cdot \frac{r^2_0}{r^2_0}=J_0 \cdot \frac{r^2_0}{(sr^2_0)^2}=frac{J_0}{s^2} \)

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

\( J_1=frac{J_0}{s^2}=\frac{140 \frac{W}{s^2}}{(1,5)^2} \approx 62\frac{W}{m^2} \)

Odpowiedź

Natężenie promieniowania słonecznego na Marsie jest \( s^2=2,25 \) razy mniejsze niż na Ziemi i równe \( J_1 = \frac{J_0}{s^2} \approx 62 \frac{W}{m^2} \).