Równia pochyła

Ciało zsuwa się z równi pochyłej bez tarcia

Na ciało działają:

• Ziemia siłą \( Q=m \cdot g \)
• Położenie siłą nacisku N

Siły \( mg \cos{\alpha} \) i \( N \) są prostopadłe do kierunku ruchu, więc równoważą się, zaś siła \( mg\sin{\alpha} \) jest siłą niezrównoważoną, która nadaje ciału przyspieszenie.

Równanie ruchu ciała:

\[ ma=mg\sin{\alpha} \]

Stąd:

\[ a=g\sin{\alpha} \]

Ciało porusza się po gładkiej równi z obliczonym powyżej przyspieszeniem.

Ciało zsuwa się z równi pochyłej z tarciem

Na klocek działają:

• Ziemia siłą \( Q=m \cdot g \)
• Podłoże siłą nacisku \( N \)
• Podłoże (równia) siłą tarcia

Siły \( mg \cos{\alpha} \) i \( N \) są prostopadłe do kierunku ruchu więc równoważą się, zaś wypadkowa sił \( mg\sin{\alpha} \) i \( T \) powoduje odpowiedni ruch.

1. Gdy \( mg\sin{\alpha} = T \), ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po prostej.
2. Gdy\( mg\sin{\alpha} \gt T \), ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym

Równanie ruchu ciała:

\[ mg\sin{\alpha} - T = ma \]

Tarcie \( T \) obliczamy:

\[ T=fN=fmg\cos{\alpha} \]

Po podstawieniu wartości tarcia do równania ruchu otrzymamy:

\[ mg\sin{\alpha} - fmg\cos{\alpha} = ma \]

Ostatecznie uzyskujemy wzór:

\[ a=g(\sin{\alpha}-f\cos{\alpha}) \]

W tym przypadku klocek ześlizguje się z równi pochyłej ruchem jednostajnie przyspieszonym z obliczonym powyżej przyspieszeniem.

Przykład 1.

U dołu równi o wysokości \( h=1m \) i kącie nachylenia \( \alpha = 30^{\circ} \) nadano ciału prędkość \( v_0 = 6 \frac{m}{s} \). U szczytu równi prędkość ciała zmniejszyła się do połowy wartości nadanej mu na dole. Oblicz współczynnik tarcia ciała o równię.

Dane:

\( h=1m \) \( \alpha = 30^{\circ} \) \( v_0 = 6 \frac{m}{s} \) \( v_k=\frac{v_0}{2} \)

Szukane:

\( f=? \)

• Obliczamy wartości przyspieszenia ruchu

Długość równi \( S=\frac{h}{\sin{\alpha}} \)

\( v_k = v_0t-\frac{at^2}{2} \)

\( v_k = v_0 - at \)

Ponieważ \( v_k=\frac{1}{2}v_0 \), to równanie przyjmuje poostrzą postać:

\( \frac{1}{2}v_0=v_0-at \) stąd \( t=\frac{v_0}{2a} \)

\( a=v_0 \frac{v_0}{2}-\frac{a \left( \frac{v_0}{2a} \right)^2}{2}= \frac{3v^2_0}{8a} \)

• Obliczamy przyspieszenie na równi

Ze wstępu teoretycznego wiemy, że:

\( a=g(\sin{\alpha}-f\cos{\alpha}) \)

\( \frac{a}{g}=\sin{\alpha}+f\cos{\alpha} \)

\( f \cos{\alpha}=\frac{a}{g}-\sin{\alpha} \)

\( f=\frac{a}{f \cos{\alpha}}-\text{tg}\alpha \)

Podstawiamy przyspieszenie uzyskane w części a zadania

\( f=\frac{3v_0^2}{8sg\cos{\alpha}}-\text{tg}\alpha \)

Po podstawieniu

\( s=\frac{h}{\sin{\alpha}} \)

mamy

\( f=\left( \frac{3v_0^2}{8gh}-1 \right)\text{tg}\alpha \)

Stąd

\( f=0,22 \)

Odpowiedź

Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi 0,22.