Geometria płaszczyzny (planimetria)

Wprowadzanie do planimetrii

Planimetria to inaczej geometria płaszczyzny, czyli dział geometrii zajmujący się wzajemnym położeniem prostych na płaszczyźnie, obliczaniem pól figór i podobieństwem figur, oraz kontrukcjami geometrycznymi. Planimetria zazwyczaj dotyczy płaszczyzny euklidejskiej, ale również płaszczyzny rzutowej i hiperbolicznej.

Definicje pojęć geometrycznych

• Czworokąt - wielokąt, który ma cztery boki. Bokami przeciwległymi czworokąta nazywamy boki niemające wspólnego wierzchołka, kątami przeciwległymi nazywamy kąty niemające wspólnego ramienia. Każdy czworokąt ma dwie przekątne, które przecinają się w punkcie wewnętrznym czworokąta, gdy jest on wypukły, lub nie przecinają się, gdy jest on wklęsły. Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym czworokącie wynosi \( 360^{\circ} \).
• Dwusieczna kąta - półprosta o początku w wierzchołku kąta, dzieląca ten kąt na dwa kąty przystające. Dwusieczna kąta zawarta jest w osi symetrii tego kąta. Dwusieczna kąta wypukłego (różnego od półpełnego) jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta jednakowo oddalonych od jego ramion.
• Kąt dopisany do okręgu w punkcie A - kąt wypukły zawarty między zadaną cięciwą poprowadzoną z punktu A na okręgu a styczną do tego okręgu przechodzącą przez punkt A. Kąt dopisany jest równy każdemu kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.
• Kąt ostry - kąt, którego miara jest mniejsza od miary kąta prostego, czyli jest mniejsza od \( 90^{\circ} \) lub, równoważnie, od \( \frac{\pi}{2} \) radianów.
• Kąt prosty - kąt równy kątowi do niego przyległego, miara kąta prostego wynosi \( 90^{\circ} \) lub, równoważnie, \( \frac{\pi}{2} \) radianów.
• Kąty przyległe - dwa kąty, które mają jedno ramie wspólne, a drugie ich ramiona są półprostymi uzupełniającymi się.
• Kąt rozwarty - każdy kąt wypukły, który jest większy od kąta prostego i jednocześnie mniejszy od kąta półpełnego, miara kąta rozwartego jest zawarta w przedziale \( (90^{\circ}, 180^{\circ}) \).
• Kątem środkowym w danym okręgu - nazywamy każdy kąt, którego wiechołkiem jest środek tego okręgu.
• Kąty wierzchołkowe - to takie dwa kąty wypukłe, które są utworzone przez przecinające się proste i nie będące kątami przyległymi, kąty wierzchołkowe są równe
• Kąt wklęsły - kąt płaski, którego obszar jest zbiorem wklęsłym, miara kąta wklęsłego jest zawarta w przedziale \( (180^{\circ}, 360^{\circ}) \).
• Kątem wpisanym w okrąg - nazywamy każdy kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a każde ramię ma prócz wierzchołka jeszcze jeden wspólny punkt z okręgiem.
• Kąt wypukły - kąt płaski, którego obszar jest zbiorem wypukłym, miara kąta wklęsłego jest zawarta w przedziale \( (0^{\circ}, 180^{\circ}) \).
• Odcinek - zbiór złożony z dwóch punktów A i B oraz wszystkich punktów prostej przechodzącej przez A i B, zawartych między tymi dwoma punktami.
• Oś symetrii - prosta, która dzieli figurę na dwie przystające części. Figury posiadające osie symetrii nazywamy osiowosymetrycznymi.
• Półprosta - o początku O nazwymy zbiór tych wszystkich punktów prostej, przechodzącej przez punkt O, które leżą po jednej stronie punktu O. Punkt 0 również zalicza się do półprostej i nazywany jest jej początkiem.
• Prosta - pojęcie pierwotne w geometrii, jest to figura, do której należy nieskończenie wiele punktów. Każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych. Przez dwa różne punkty przechodzi zawsze tylko jedna prosta.
• Punkt - pojęcie pierwotne w geometrii. Punkty oznaczamy wielkimi literami alfabetu (A,B,C).
• Symetralna odcinka - prosta będąca zbiorem punktów równooddalonych od końców odcinka
• Środek symetrii figury - punkt względnem, którego figura jest środkowo symetryczna. Figury posiadające środek symetrii nazywamy środkowosymetrycznymi.
• Trójkąt - wielokąt o trzech bokach. Boki te spełniają warunek zwany nierównością trójkąta: długość dowolnego boku jest mniejsza od sumy długości dwóch pozostałych. Zwykle jeden z boków trójkąta, ustalony w dowolny sposób, nazywamy podstawą trójkąta, a pozostałe dwa boki - ramionami trójkąta. Suma kątów w trójkącie wynosi \( 180^{\circ} \).
• Wielokąt foremny - to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakową długość i wszystkie kąty są tej samej miary. Miarę kąta wielokąta foremnego możemy obliczyć ze wzoru: \( \alpha = 180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n} \), gdzie \( n \) jest liczbą boków wielokąta.